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Il y a eu une première version concernant le cas orthogonal. La deuxième version a été soumise en avril 2010.

Dans cet article je poursuis l'étude des arbres de Cayley quantiques, en considérant notamment l'existence et l'unicité des chemins vers l'origine. Pour le groupe libre F_n, ces chemins définissent un cocycle propre, ce qui démontre la propriété de Haagerup. Dans le cas des groupes quantiques orthogonaux universels, je montre au contraire que l'unique cocycle chemin est trivial. Dans le cas unitaire, il n'est ni borné ni propre. Enfin, j'utilise ce résultat géométrique pour démontrer l'annulation du premier nombre de Betti L^2 pour A_o(I_n) — alors que celui de F_n vaut n-1.

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Le groupe quantique orthogonal semi-libéré O_n^* est un groupe quantique compact intermédiaire entre le groupe compact O_n et sa version libre O_n^+ associée à l'algèbre de Woronowic A_o(n). Nous discutons dans cet article les propriétés algébriques de base de O_n^* et classifions ses représentations irréductibles. Cette classification repose sur l'utilisation d'un réseau des poids non commutatif et une comparaison avec la théorie des représentations de U_n. On montre notamment que O_n^* a des règles de fusion non commutatives, et a le même exposant de croissance polynômiale que SU_n.

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Dans cet article nous déterminons les règles de fusion des groupes de réflexion quantiques A_h^s, qui sont des versions libres des groupes de réflexions complexes G(s,s,n). Nous décrivons la catégorie des coreprésentations à l'aide de certains sous-ensembles de partitions non croisées indexées, et montrons que les coreprésentations irréductibles peuvent être indexées par les mots sur Z/sZ de manière à avoir des règles de fusion "locales" et explicites. Nous calculons également les dimensions des coreprésentations irréductibles.

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Dans cet article nous donnons des estimées ou des formules exactes pour la croissance des principales classes connues de groupes quantiques discrets, incluant des exemples exponentiels et des exemples polynômiaux. Dans le cas des duaux de groupes de Lie réels compacts nous relions une marche aléatoire quantique à une marche aléatoire classique sur le réseau des poids, ce qui nous permet de vérifier dans ce cas dual l'analogue quantique d'un résultat de Gromov reliant la croissance et la probabilité de retour à l'origine pour les groupes discrets.

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Dans cet article nous construisons et étudions la frontière de Gromov des groupes quantiques libres orthogonaux de Wang-Banica. Il s'agit d'une C*-algèbre unifère, construite par un procédé de limite inductive, qui est naturellement munie d'une action du groupe quantique discret. Nous montrons que cette action est moyennable, en un sens approprié au cadre quantique, et nous en déduisons l'exactitude et la propriété AO pour ces groupes quantiques. Nous démontrons également des résultats de simplicité et montrons ainsi que les algèbres de von Neumann associées aux groupes quantiques considérés sont des facteurs pleins et premiers. Nous faisons finalement le lien avec les notions de frontières de Poisson et de Martin et donnons une démonstration directe de l'exactitude, basée sur la notion d'équivalence monoïdale.

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Dans cet article j'introduis la propriété de décroissance rapide pour les groupes quantiques discrets, au moyen de plusieurs caractérisations équivalentes qui généralisent celles du clas classique. Je montre que l'application de cette propriété à la K-théorie des C*-algèbres réduites de groupes est toujours valide dans le cas quantique. J'étudie également certaines classes d'exemples, et je démontre en particulier que les groupes quantiques libres unimodulaires on la propriété DR. Il s'avère par ailleurs que seuls les groupes quantiques discrets unimodulaires peuvent avoir la propriété DR.

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Dans cet article j'introduis la notion de graphe de Cayley quantique et je l'étudie dans le cas des arbres, qui correspond au cas des groupes quantiques libres. Je considère en particulier la notion d'orientation ascendante pour ces arbres quantiques, et je décris l'espace des arêtes à l'infini qui lui est associé. Il est relié à la non-involutivité de l'opérateur de retournement des arêtes et s'annule dans le cas classique. Je finis avec deux applications : la preuve de la propriété AO pour les groupes quantiques libres, et la construction de leur élément gamma en KK-théorie. Les résultats concernant l'espace des arêtes à l'infini ont été généralisés et prolongés par rapport à ma thèse, et l'application à la propriété AO est nouvelle.

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Dans cet article je présente les résultats de ma thèse concernant la KK-théorie équivariante par rapport à un groupe quantique localement compact, et je démontre la K-moyennabilité des produits libres amalgamés de groupes quantiques discrets moyennables, en construisant un analogue quantique des arbres de Bass-Serre. Certaines démonstrations ont été améliorées par rapport à ma thèse.

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Ces notes ont été écrites pour un mini-cours de master donné à l'Université de Caen en septembre 2010 dans le cadre d'un semestre «groupe quantiques». Il s'est avéré nécessaire d'inclure des rappels concernant les produits tensoriels et les algèbres de groupes. On a ensuite essayé de présenter quelques aspects intéressants de la théorie élémentaire des algèbres de Hopf, à la fois dans le cadre purement algébrique, et dans le cadre C*-algébrique. L'objectif principal était l'existence et l'unicité des «intégrales de Haar», dont les preuves dans le contexte algébrique et dans le contexte analytique sont très différentes, ainsi que l'introduction d'exemples qui permettent de mener quelques calculs. Il y a également quelques exercices supplémentaires.

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Après trois chapitres de rappels, j'étudie la construction de produit croisé pour les groupes quantiques localement compacts, notamment leurs propriétés fonctorielles et leur utilisation en KK-théorie équivariante (descente, isomorphisme de Green-Julg, K-moyennabilité). Puis j'étudie des exemples d'actions sur des arbres quantiques : arbres de Bass-Serre et arbres de Cayley quantiques. Dans le premier cas cela permet de démontrer la K-moyennabilité des produits libres amalgamés considérés. Le deuxième cas est beaucoup plus compliqué, et il faut notamment introduire un espace des arêtes à l'infini pour pouvoir construire l'élément gamma associé à l'arbres quantique, dans le cas des groupes quantiques libres orthogonaux.

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Ce mémoire regroupe des textes écrits lors de ma scolarité l'ENS : mémoire de maîtrise Equivalence entre fermions et bosons (sous la direction de B. Julia), mémoire de DEA Groupes Quantiques Compacts Matriciels (sous la direction de G. Skandalis), ainsi qu'une introduction aux liens entre physique des particules et géométrie non commutative.

• 28 juin 2011, Caen, journée de l'équipe APS :
  Échangeabilité libre et permutations quantiques.
• 10 novembre 2010, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Propriété (T) et automorphismes extérieurs, d'après Connes.
• 7 octobre 2009, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Autour de la conjecture de Baum-Connes forte pour les groupes quantiques discrets.
• 23 septembre 2009, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  KK-théorie : définition et structure triangulée.
• 6 janvier 2009, Caen, séminaire "Algèbre et géométrie" :
  Groupes de réflexions complexes quantiques. Notes :  dvi, pdf.
• « Suite» Suite
• 15 octobre 2008, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Cocycle chemin et cohomologie $L^2$ des groupes quantiques libres.
• 11, 18 et 25 juin 2008, Caen, Groupe de travail "Catégories tensorielles" :
  Algèbres enveloppantes quantifiées. Notes :  dvi, pdf.
• 10 et 17 octobre 2007, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Longueur quantique dans les arbres de Cayley quantiques.
• 31 janvier 2007, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Introduction à la K-théorie des C*-algèbres.
• 22 et 29 novembre 2006, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Graphes de Cayley et croissance des groupes quantiques discrets.
• 8 février 2006, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative :
  Groupes quantiques libres.
• 26 janvier 2006, Paris, séminaire "Algèbres d'Opérateurs" :
  Cohomologie bornée et rigidité (d'après Monod et Shalom). Notes :  dvi, pdf.
• 15 novembre 2005, Caen, séminaire "structures discrètes" :
  Arbres de Bass-Serre quantiques. Transparents :  dvi, pdf.
• 12, 19 et 26 octobre, 2 et 9 novembre 2005, Caen, séminaire d'analyse harmonique non commutative : Groupes libres et moyennabilité.
• 7 et 14 décembre 2004, Münster, séminaire "C*-algèbres" :
  Higson's proof of the Atiyah-Singer index theorem. Notes :  pdf.
• 13 juillet 2004, Münster, séminaire "C*-algèbres" :
  The Property of Rapid Decay for free quantum groups. Transparents :  dvi, pdf. Notes :  pdf.
• 3 février 2004, Münster, séminaire "C*-algèbres" :
  The Property of Akemann and Ostrand for free quantum groups.
• 25 octobre 2003, Münster, journée "post-doctorants" :
  KK-Theory for Quantum Groups: functorial and geometrical methods. Transparents :  dvi, pdf. Notes :  pdf.

L2 MASS (EM49)

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M2 Maths Recherche (M2)

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L2 MASS (EM49)

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• Générateur de matrices diagonalisables dans M_n(Z)

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L1 Sciences (EM11, EM12, PRE)

• Plan du cours : dvi, pdf.
• Introduction aux développements limités : dvi, pdf, ps.
• Calculs avec les réels (pré-rentrée). Feuille :  dvi, pdf.
• Équations, inéquations (pré-rentrée). Feuille :  dvi, pdf.
• Études de fonctions (pré-rentrée). Feuille :  dvi, pdf.
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L2 MASS (EMA43)

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L1 Sciences (EM11, EM12, PRE)

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• Nombres réels et fonctions usuelles (fiche 1). Feuille :  dvi, pdf.
• Limites, continuité et dérivabilité (fiche 2). Feuille :  dvi, pdf.
• Développements limités et applications (fiche 3). Feuille :  dvi, pdf.
• Fonctions de plusieurs variables (fiche 4). Feuille :  dvi, pdf.
• Figures pour la fiche 4. Feuille :  pdf, ps.
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• Devoir surveillé (29 octobre). Sujet :  dvi, pdf.