Quelques questions sur les polynômes
pour passer le temps



Ces questions sont en fait des questions ouvertes, mais qui ne méritent pas encore le statut de conjecture.
Si vous savez y répondre, écrivez-moi !

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• Soit P un polynôme à coefficients complexes. On suppose que P a une racine commune avec toutes ses dérivées (pas toujours la même).
  Est-il vrai que P est de la forme (aX+b)^n ?
  (Cette question m'a été communiquée par G. Bailly-Maitre)
  
• Soit P un polynôme de degré n à coefficients complexes qui s'annule en -1 et 1.
  Est-il vrai que P' s'annule dans la bande verticale | Re(z)| < A_n ? où A_n est équivalent à n/2Pi lorsque n tend vers l'infini ?
  
• Soient P₁,...P_N, des polynômes (à coefficients complexes) de degré au plus D, et tels que tous les résultants Res(P_i,P_j) (i<>j) sont égaux à 1 ou -1.
  Est-il vrai que N <= 2D+1 ?
  
• Soient P₁,...P₅ des polynômes unitaires de degré 2.
  Quelle est la relation reliant les 10 résultants Res(P_i,P_j) ?
  Et avec 2D+1 polynômes de degré D ?
  Et avec 2D+3 polynômes non unitaires de degré D ?
  
• Soit (P_n) une famille de polynômes à coefficients entiers, de degré d_n tendant vers l'infini, et de discriminant non nul.
  Est-il possible que (disc P_n)^(1/d_n) soit borné ? (D'après une question de JP. Serre)
  A-t-on (disc P_n)^(1/d_n) >> d_n^e avec e > 0 ? avec e = 1/2 ?
• Soit (P_n) une famille de polynômes en N variables à coefficients entiers, de degré total d_n tendant vers l'infini, et de discriminant non nul.
  Est-il vrai que (disc P_n)^(1/d_n^N) tend vers l'infini ?
  A-t-on (disc P_n)^(1/d_n^N) >> d_n^e avec e > 0 ?