Abstract:
   In this paper, we are interested in solving the so-called norm equation N_L/K(x)=a where L/K is a given arbitrary extension of number fields, and a a given algebraic number of K. By considering S-units and relative class-groups, we show that if there exists at least one solution (in L, but not necessarily in Z_L), then there exists a solution for which we can describe precisely its prime ideal factorization. In fact, we prove that under some explicit conditions, the S-units that are norms are norms of S-units. This allows us to limit the search for rational solutions to a finite number of tests, and we give the corresponding algorithm. When a is an algebraic integer, we also study the existence of an integral solution, and we can adapt the algorithm to this case.

Résumé :
   Dans ce papier, nous essayons de résoudre l'équation aux normes N_L/K(x)=a où L/K est une extension quelconque de corps de nombres, et où a est un nombre algébrique dans K. Grâce à l'utilisation des S-unités et des groupes de classes relatifs, nous montrons que s'il existe au moins une solution (dans L, mais pas nécessairement dans Z_L), alors il existe aussi une solution dont on peut décrire précisément sa factorisation en idéaux premiers. En fait, nous montrons que sous certaines conditions explicites, les S-unités qui sont des normes sont des normes de S-unités. Ceci nous permet de limiter la recherche de solutions rationnelles à un nombre fini de tests, et nous décrivons l'algorithme correspondant. Lorsque a est un entier algébrique, nous envisageons aussi l'existence de solutions entières, et nous pouvons adapter notre algorithme à ce cas.