Abstract:
   Although the solvability over the rationals of a quadratic equation of dimension 4 is easy to test using local informations, no efficient algorithm has been described yet for constructing a solution. We describe here and prove such an algorithm. It uses many different tools such as linear algebra over finite fields, the theory of class groups of binary quadratic forms, or the reduction of indefinite unimodular quadratic forms. We extend this algorithm to all the dimensions n >= 5, by considering separately two cases, depending on the parity of n. These algorithms can be used to find a totally isotropic subspace of maximal dimension.

The corresponding GP programs are available.

Résumé :
   L'existence de solutions rationnelles pour les équations quadratiques en dimension 4 est facile à tester en utilisant des informations locales. En revanche, aucun algorithme efficace n'a encore été donné pour construire une solution. Nous décrivons ici un tel algorithme, dont nous donnons la preuve. Il utilise différents outils, de l'algèbre linéaire sur les corps finis, à la théorie des groupes de classes de formes quadratiques, en passant par la réduction des formes quadratiques unimodulaires indéfinies. Nous étendons ensuite cet algorithme à toutes les dimensions n >= 5, en considérant séparément deux cas, suivant la parité de n. Ces algorithmes peuvent aussi être utilisés pour construire un sous-espace totalement isotrope de dimension maximale.

Les programmes GP correspondants sont disponibles.