Abstract:
   In this paper, we study equations of the form Cy^d=F(x,z) where F\in Z[x,z] is a binary form, homogeneous of degree n, which is supposed to be primitive and irreducible, and d is any fixed integer. By using classical algebraic methods, we give a necessary condition for the existence of primitive solutions for this equation. This condition rests on the existence of an ideal of given norm in some order in a number field, and on a relation satisfied by this ideal in the class group. Numerous examples are given to illustrate this result. In a second part, we make a link between this condition and the properties of the different in the considered number field.

Résumé :
   L'objet de cet article est d'étudier les équations de la forme Cy^d=F(x,z) où F\in Z[x,z] est une forme binaire homogène de degré n, supposée primitive et irréductible, et d est un entier quelconque fixé. Par des méthodes algébriques classiques, nous donnons un critère nécessaire pour l'existence de solutions primitives de cette équation. Ce critère repose sur l'existence d'un idéal de norme donnée dans un certain ordre d'un corps de nombres et sur une relation dans le groupe de classes satisfaite par cet idéal. De nombreux exemples sont donnés pour illustrer ce critère. Dans une seconde partie, un lien est fait entre ce critère et les propriétés de la différente du corps de nombres considéré.