Yves Hellegouarch's letter to La Gazette des Mathématiciens concerning

THE FREY-HELLEGOUARCH CURVES

Rectificatif à l'article de H. Darmon intitulé :
"La Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est enfin démontré"
(Gazette des Mathématiciens de janvier 2000-n. 83

Le présent rectificatif concerne un point de cet article dont l'importance est plus historique que mathématique et qui peut se résumer par une question : qui a inventé "les courbes de Frey"?

Dans son article, H. Darmon semble donner une réponse en écrivant que "C'est Frey qui a eu l'idée d'associer à une solution non trivial (a, b, c) de l'équation xp+yp=zp une courbe elliptique Ea,b,c (appelée maintenant "courbe de Frey") donnée par l'équation y2=x(x-ap)(x+bp)".

Comme le reconnaît H. Darmon lui-même, la formulation de cette phrase est "fâcheuse" car elle suggère que c'est Frey qui, le premier, a eu cette idée. Or si une chose est bien claire, c'est que ce n'est pas Frey qui a le premier utilisé cette construction et remarqué le premier les étranges propriétés de faible ramification de la p-torsion de cette courbe (qui font douter de l'existence de celle-ci).

Voici, par exemple, le contenu d'une lettre que Jean-Pierre Serre m'a adressée le 16 janvier 1986 et qui pose la question :

"Dans votre thèse, vous aviez utilisé la courbe elliptique

 Ea,b,c    y2=x(x-ap)(x-cp)
associée à une solution ap+bp=cp de l'équation de Fermat, et vous aviez étudié les propriétés de ramification de ses points de division par p.

Vous savez peut-être que cette construction a été reprise tout récement par G. Frey. Si l'on combine cette idée avec certaines conjectures sur les formes modulaires mod p que j'avais faites vers 1974, on trouve une contradiction (ce qui démontre Fermat ! mais hélas modulo mes conjectures).

Je vous écris, d'abord pour vous raconter ces développements récents (qui peuvent vous intéresser), et puis aussi pour vous demander des références sur la courbe Ea,b,c : où apparaît-elle pour la première fois ? Est-ce dans votre thèse, ou chez Demjanenko ? Ou ailleurs ? Pouvez-vous avoir l'obligeance de me renseigner ? "

En fait l'origine de cette construction ne peut être postérieure à 1969 puisque je l'avais exposée oralement aux Journées Arithmétiques de Bordeaux, qui avaient eu lieu cette année-là, dans le but de prouver que l'un des points d'ordre p de la courbe Ea, b, c engendrait une extension de Q non ramifiée en p si p divise abc. L'argument que j'avais utilisé était faux et Jean-Pierre Serre (qui était présent à l'exposé) l'avait aussitôt démoli. C'est la raison pour laquelle les courbes Ea, b, c ont été supprimées dans ma contribution aux Comptes-Rendus de ces Journées Arithmétiques. La première utilisation que j'ai faite de ces courbes apparaît (pour les initiés) dans une note aux CRAS de 1971 [1]. Cette utilisation est détaillée dans ma thèse [2] et résumée dans un article aux Acta Arithmetica [3]. Mon article aux Acta Arithmetica est cité en 1977 dans [4] et ma thèse l'est en 1982 dans [5], ce qui montre que la communauté mathématique avait bien pris connaissance de cette construction.

Le lecteur remarquera que je n'ai pas répondu à toutes les questions posées dans la lettre de Jean-Pierre Serre. En effet je n'avais trouvé le modèle de cette construction précise dans aucun document antérieur à 1969, mais il serait présomptueux de ma part d'en conclure que l'origine de cette construction ne se trouve pas dans des documents que je ne connaîtrais pas.

Ce qui est clair est que la recherche de l'origine de cette construction est un point historique intéressant.

Yves Hellegouarch (July 1, 2000)

  1. Y. Hellegouarch, Points d'ordre fini sur les courbes elliptiques. CRAS Paris, t. 273, 540-543 (1971).
  2. Y. Hellegouarch, Courbes elliptiques et équation de Fermat. Thèse, Besanšon, (1972).
  3. Y. Hellegouarch, Points d'ordre 2ph sur les courbes elliptiques. Acta Arith. XXVI, 253-263 (1975).
  4. G. Frey, Some remarks concerning points of finite order on elliptic curves over global fields. Arkiv f. Math. 15, 1-19 (1977).
  5. G. Frey, Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven. J. Reine u. Angew. Math. 33, 185-191 (1982).