Patrick Dehornoy

Patrick Dehornoy

Exposés grand public / General talks


Set theory fifty years after Cohen
Sevilla, Apr. 2016; São Carlos and São Paulo, Aug. 2016

We present a few results of modern Set Theory, with a special emphasis on the Continuum Hypothesis and the possibility of solving the question after the well known negative results of Godel and Cohen, and on Laver tables, which are explicit finite structures, some simple combinatorial properties of which have so far only been proved using (unprovable) large cardinal axioms, a very paradoxical situation.

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Earlier version, not mentioning Laver tables but with more details about the Continuum Hypothesis (Strasbourg, Sep. 2011; Brussels, Feb. 2012; StAndrews, May 2012; Paris, Dec. 2013; Clermont, Feb. 2014; Goettingen, Jun. 2014; Vancouver, Jul. 2014; Lille, Dec. 2014, ...)

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Il était une fois la théorie des ensembles... ou l'histoire d'un malentendu
Rouen, Forums régionaux du savoir, février 2012

Il y a longtemps, une bien étrange maladie envahit les écoles et les lycées de France, la théorie des ensembles. Personne n'en mourut, mais grandes furent la perplexité et l'incompréhension, et bien des gens en gardèrent une durable rancœur contre les mathématiques. Heureusement, l'épidémie s'éteignit d'elle-même au bout de quelques années, les professeurs et leurs élèves retrouvèrent le nord, et on finit par oublier ce qui, un temps, avait créé un si grand émoi. C'est sur cette histoire qu'on reviendra ici, pour chercher à comprendre comment la magnifique aventure scientifique lancée à la fin du dix-neuvième siècle par un visionnaire, Georg Cantor, et développée au vingtième par les génies que furent Kurt Gödel et Paul Cohen a pu, par une sorte de malentendu dû à ses succès eux-mêmes, se transformer en un dogme abscons envahissant jusqu'à l'enseignement élémentaire. L'aventure au demeurant n'est pas terminée, et on essaiera également d'expliquer un peu ce qu'est vraiment, aujourd'hui comme au temps de Cantor, la théorie des ensembles, à savoir une élaboration de la notion de l'infini, cette chose mystérieuse et fascinante dont les humains partagent l'intuition mais qu'ils comprennent toujours si mal.

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via Science-Action
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A quoi sert l'infini ?
Rouen, janvier 2012

Qu'il faille faire appel à des outils infinis pour démontrer des propriétés des objets infinis n'est pas tres étonnant. Par contre, il est moins intuitif que le passage par l'infini soit déterminant quand il s'agit des propriétés d'objets finis, par exemple des nombres entiers. On montrera pourtant sur quelques exemples que l'utilisation de méthodes ou d'intuitions mettant en jeu l'infini, voire même de très spéculatifs "hyper-infinis", peut permettre de démontrer ou de découvrir des propriétés nouvelles des objets finis.

Video en streaming (62') :
via l'université de Rouen
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Cantor et les infinis
Cycle "Un texte, un mathématicien", BnF Paris, mars 2009

En 1874, Georg Cantor publie dans le journal de Crelle un article où il démontre qu'il n'existe pas plus de nombres algébriques que de nombres entiers mais que, par contre, il existe strictement plus de nombres réels. Cet article est révolutionnaire car, pour la première fois, l'infini est considéré non plus comme une limite inatteignable mais comme un possible objet d'investigation. Sa descendance est extraordinaire : non seulement il marque la naissance de la théorie des ensembles — en fait une théorie de l'infini -- mais il contient deja en germe le problème du continu qui a occupé toute la fin de la vie de Cantor, et a été et continue d'être le moteur du développement de cette théorie, un temps objet d'une fascination déraisonnable reposant sur un malentendu, et aujourd'hui largement méconnue.

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via la Société Mathématique de France ou Vimeo
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Le problème d'isotopie des tresses
Leçon de mathématiques d'aujourd'hui, Bordeaux, avril 2008

Le problème d'isotopie des tresses est la question de reconnaître si deux diagrammes de tresse peuvent être déformés continûment l'un en l'autre. C'est un problème de difficulté moyenne : ni trop facile — aucune solution n'est triviale — ni trop difficile — des solutions explicites existent. On présentera quelques-unes des (très) nombreuses solutions connues à ce jour, l'intérêt principal étant la multiplicité des approches possibles — algébriques, combinatoires, géométriques, topologiques, etc. — et la diversité des solutions qui en résultent.

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Partie 1 (241 Mo), Partie 2 (346 Mo)
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Partie 1 (2.8 Mo), Partie 2 (5.0 Mo)


Le calcul des tresses
Journées APMEP, Caen, octobre 2005

Les tresses n'intéressent pas seulement les coiffeurs et les artistes, elles donnent également lieu a une théorie mathématique profonde qui a des ramifications dans de nombreux domaines: algebre, combinatoire, géométrie, topologie, informatique, et meme physique mathématique et théorie des ensembles. L'exposé vide à montrer qu'il existe un véritable calcul des tresses, qui est une sorte d'extension non commutative du calcul avec les nombres entiers. On presentera quelques développements récents, notamment un algorithme de démelage que chacun peut programmer sur une calculette mais dont l'efficacité étonnante reste pour le moment mystérieuse. On évoquera aussi les possibles applications du calcul des tresses en cryptographie.

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Braid-based cryptography
Bochum, Nov. 2005

In the recent years, several authors began to develop braid-based cryptographical protocols. The talk aims at giving a general overview of this quickly developing field, insisting on the various cryptographical questions one has to address, and on the theoretical and practical problems arising from using braids: choice of a difficult problem (often conjugacy), representation of the data (normal vs. reduced forms), security proofs (lower complexity bounds) and possible attacks.

Slides (1.8 Mo)


Des ensembles aux tresses / From sets to braids
LIGC, Paris, novembre 2005; SMF, Paris, mai 2006

On montre comment l'étude des grands cardinaux en théorie des ensembles a mené à la construction de systèmes algébriques d'un type nouveau, et, de là, à la découverte d'un ordre total sur les tresses et à celle d'une nouvelle solution particulièrement efficace de leur problème d'isotopie.

We show how studying large cardinals in Set Theory (which are objects whose existence is, and will remain, an unprovable assumption) has led to constructing new examples of algebraic systems satisfying the left self-distributivity law, and, from there, quite naturally, to the discovery of a linear ordering on Artin's braid groups. The latter has led to new braid applications, and it has now received several equivalent purely geometrical or topological constructions.

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