RECHERCHE EN MATHEMATIQUES PURES

Voici maintenant la liste complète (par ordre chronologique inverse) de mes articles publiés, avec leurs résumés. A deux exceptions près, numérotées (4) et (7), ils sont rédigés en français. N'hésitez pas à m'en réclamer des tirés à part. Les articles d'histoire et philosophie des mathématiques sont sur une autre page.

(13) Sur les catégories accessibles multicomplètes.
Journal of Pure and Applied Algebra 170 (2002) 109-114

RÉSUMÉ. On sait qu'une catégorie accessible est multicocomplète si et seulement si elle possède les limites projectives connexes. Nous montrons qu'une catégorie accessible est multicomplète si et seulement si elle possède les limites inductives connexes.

ZUSAMMENFASSUNG. Bekanntlich ist eine erreichbare Kategorie genau dann multikovollständig, wenn sie zusammenhängende Limites besitzt. Wir beweisen, dass eine erreichbare Kategorie genau dann multivollständig ist, wenn sie zusammenhängende Kolimites besitzt.

ABSTRACT. It is well known that an accessible category is multicocomplete if and only if it has all connected limits. We prove that an accessible category is multicomplete if and only if it has all connected colimits.

(12) Esquisses inductives et presque inductives.
Cahiers de topologie et de géométrie différentielle catégoriques XLII (2001) 229-240

RÉSUMÉ. Nous étudions les esquisses dont tous les cônes projectifs distingués sont à base vide. Nous démontrons que la catégorie des modèles d'une telle esquisse est multicomplète. Ceci fournit une manière canonique de la réesquisser. Cas particulier : la catégorie des modèles d'une esquisse inductive peut toujours être réesquissée par une esquisse projective.

ABSTRACT. We study those sketches all of whose cones are based on the empty diagram. We prove that the category of models of such a sketch is multicomplete. This provides a canonical way to re-sketch it. As a special case, the category of models of a colimit sketch can always be re-sketched by some limit sketch.

(11) Limites inductives point par point dans les catégories accessibles.
Theory and Applications of Categories 8 (2001) 313-323 (revue électronique)

RÉSUMÉ. Nous caractérisons les catégories de modèles des esquisses (mixtes) dont tous les cônes projectifs sont d'indexation non vide (resp. connexe, resp. simplement connexe).

ABSTRACT. We characterize the categories of models of (mixed) sketches all of whose cones are based on non-empty (resp. connected, resp. simply connected) diagrams.

(10) Limites projectives conditionnelles dans les catégories accessibles.
Diagrammes 38 (1997) 3-18

RÉSUMÉ. Soit b un cardinal régulier. Nous caractérisons les catégories b-accessibles à limites projectives conditionnelles comme catégories de modèles de certaines esquisses dont tous les cônes projectifs sont de taille < b et dont les cônes inductifs sont en nombre < b. De même pour les catégories accessibles à limites projectives conditionnelles non vides (resp. connexes, resp. simplement connexes). N.B. Cet article contient un énoncé faux corrigé dans (12).

ABSTRACT. Let b be a regular cardinal. Accessible categories with consistent (= bounded) limits are characterized as the categories of models of specific sketches, all of whose cones are of size < b and whose number of cocones is < b. Similarly for accessible categories with non-empty (resp. connected, resp. simply connected) consistent limits. A false statement in this paper is corrected in (12).

(9) Catégories accessibles à produits fibrés.
Diagrammes 36 (1996) 1-11

RÉSUMÉ. Nous caractérisons les catégories accessibles à produits fibrés (finis) comme catégories de modèles de certaines esquisses. Dans ce but, nous introduisons les limites inductives "libres" dans Ens et démontrons que ce sont exactement les limites inductives qui commutent aux produits fibrés.

ABSTRACT. Accessible categories with (finite) pullbacks are characterized as the categories of models of specific sketches. This is achieved by introducing "free" colimits in Set: such colimits are proved to be exactly those that commute with pullbacks.

(8) La tour holomorphe d'une esquisse.
Cahiers de Topologie et de Géométrie Différentielle Catégoriques XXXVII (1996) 295-314

RÉSUMÉ. On revisite une construction dans la catégorie des esquisses due à Lair en notant qu'elle généralise celle de l'holomorphe d'un groupe. En l'itérant apparaissent deux invariants d'une esquisse : un certain ordinal et un certain groupe. On donne des exemples de calculs explicites.

ABSTRACT. A construction of Lair's in the category of sketches is revisited and noticed to specialize to the construction of the holomorph when restricted to groups. The iteration of this construction reveals two invariants of a sketch: some ordinal number and some group. Explicit computations are provided.

(7) Effective taxonomies and crossed taxonomies.
Cahiers de Topologie et de Géométrie Différentielle Catégoriques XXXVII (1996) 82-90

RÉSUMÉ. Une taxinomie est une "catégorie sans identités" : ainsi tout endofoncteur pointé d'une catégorie donne naissance à une taxinomie. La notion intéressante semble être celle de module croisé de taxinomies : pour une telle structure, on peut définir une notion similaire à celle d'accessibilité d'une catégorie. La théorie de l'infini à la Dedekind (en termes d'injections strictes) en fournit un exemple simple.

ABSTRACT. A taxonomy is a "category without identities"; e.g. every pointed endofunctor on a category gives rise to a taxonomy. The interesting notion seems to be that of crossed modules of taxinomies: for such structures, a notion of accessibility (similar to that for categories) can be defined. A simple model of that situation is provided by Dedekind's treatment of infinite sets (in terms of strict injections).

(6) Catégories accessibles à limites projectives non vides et catégories accessibles à limites projectives finies.
Diagrammes 34 (1995) 1-10

RÉSUMÉ. Soit b un cardinal régulier. Nous caractérisons comme catégories de modèles d'esquisses particulières les catégories b-accessibles possédant les limites projectives non vides. Il en résulte que ces catégories sont les objets d'une catégorie cartésienne fermée (les morphismes étant les foncteurs préservant les limites inductives b-filtrantes). Nous caractérisons aussi en termes d'esquisses les catégories accessibles possédant les limites projectives finies (resp. non vides finies, resp. connexes finies).

ABSTRACT. Let b be a regular cardinal number. We characterize as categories of models of particular sketches those b-accessible categories that have non-empty limits. It follows that the latter are the objects of a Cartesian closed category (whose morphisms are functors preserving b-filtered colimits). We also characterize in terms of sketches those accessible categories that have finite (resp. finite non-empty, resp. finite connected) limits.

(5) Quelques aspects de la dualité entre logique et topologie.
Cahiers de Topologie et de Géométrie Différentielle Catégoriques XXXIII (1992) 195-198

RÉSUMÉ. On suggère l'analogie suivante: les catégories accessibles sont aux catégories karoubiennes ce que les espaces compacts sont aux espaces complets.

(4) The logic of structures.
Journal of Pure and Applied Algebra 79 (1992) 15-34

RÉSUMÉ. Soit b un cardinal régulier. Soit b-ACC la catégorie qui a pour objets les catégories b-accessibles et pour flèches les foncteurs b-continus (c.-à-d. préservant les limites inductives b-filtrantes). On donne un critère syntaxique pour qu'une sous-catégorie pleine de b-ACC soit cartésienne fermée. Par ailleurs, on caractérise en termes d'esquisses les catégories localement b-polyprésentables, ce qui permet de leur appliquer le critère précédent. Enfin, on prouve que la sous-catégorie de b-ACC qui a pour objets les catégories localement b-présentables ou b-coprésentables et pour flèches les foncteurs linéaires (c.-à-d. préservant toutes les limites inductives) est pré-*-autonome.

(-) Corrigenda concernant les articles numérotés (2) et (3).
Diagrammes 24 (1990) 77

(3) Sémantique catégorique des constructeurs de types d'ordre supérieur.
Diagrammes 22 (1989) 31-44

RÉSUMÉ. On introduit une notion d'esquisse généralisée (canevas) et une notion de constructeur de type dans une catégorie. Dans certains cas, on montre que le foncteur d'oubli de ces constructeurs est monadique.

(2) Les catégories localement (multi)présentables comme domaines de Scott.
Diagrammes 21 (1989) A1-A5

RÉSUMÉ. Soit b un cardinal régulier. Nous montrons que la catégorie qui a pour objets les catégories localement b-(multi)présentables et pour flèches les foncteurs préservant les limites inductives b-filtrantes est cartésienne fermée. Notre méthode utilise la théorie des esquisses.

ABSTRACT. Let b be a regular cardinal number. We prove that the category with objects all locally b-(multi)presentable categories and with arrows all functors preserving b-filtered colimits is Cartesian closed. Our method uses sketch theory.

(1) Sémantique catégorique des types: comprendre le système F.
Diagrammes 19 (1988) 1-40

RÉSUMÉ. On défend l'idée suivant laquelle l'énorme pouvoir expressif du système F de Girard est dû à la possibilité d'alterner sans contrainte quantificateurs universels du second ordre (construisant des structures libres) et connecteurs d'implication (construisant des structures co-libres). On en déduit une sémantique catégorique pour ce système reposant sur une notion d'esquisse généralisée due à Lair, celle de trame.

AUTRES TRAVAUX RÉDIGÉS

Esquisse d'extension galoisienne. Esquisses presque inductives et presque projectives.
Séminaire itinérant de catégories à l'Université d'Amiens, LAMFA 18 (2001) 15-18

RÉSUMÉ. Ce compte-rendu de séminaire présente le contenu des articles numérotés (12) et (13) ci-dessus.

L'art de l'esquisse (3) : esquisse d'endosurjection (2000, 5 pages)

RÉSUMÉ. Nous décrivons une esquisse projective, à cônes d'indexation connexe et dénombrable, dont la catégorie des modèles est équivalente à la catégorie des ensembles munis d'une endoapplication surjective. Nous montrons de plus que cette catégorie n'est pas équivalente à la catégorie des modèles d'une esquisse projective à cônes d'indexation finie.

ABSTRACT. We describe a projective sketch, with connected countable cones, whose category of models is equivalent to the category of sets equipped with a surjective endomap. We also prove that this category is not equivalent to the category of models of any projective sketch with finite cones.

L'art de l'esquisse (2) : esquisse d'extension galoisienne (2000, 8 pages)

RÉSUMÉ. Nous décrivons deux esquisses dont la catégorie des modèles équivaut à un groupe fixé, puis une esquisse dont la catégorie des modèles équivaut à la catégorie des extensions algébriques galoisiennes d'un corps commutatif fixé.

L'art de l'esquisse (1) : esquisse de nombre réel (2000, 6 pages)

RÉSUMÉ. Nous décrivons une esquisse dont la catégorie des modèles est équivalente à la droite réelle achevéee et indiquons comment la modifier pour obtenir des catégories de modèles équivalentes, respectivement, à la droite réelle et à la droite irrationnelle.

Note sur les LD-monoïdes réflexifs (1998, 3 pages)

RÉSUMÉ. Un LD-monoïde est un monoïde muni d'une deuxième opération *, autodistributive à gauche et compatible avec la première. Nous identifions les demi-treillis de Heyting aux LD-monoïdes commutatifs satisfaisant x*x=1.

Théorie des esquisses et théorie des groupes (1994, 4 pages)

RÉSUMÉ. Ce texte est une présentation de l'article numéroté (8) ci-dessus.

Le principe d'identité en logique et en théorie des catégories (1993, 32 pages)

Autodistributivité et catégories.
Séminaire logique et algorithmique de l'Université de Caen IX (1992) 1-10

RÉSUMÉ. Nous interprétons un résultat récent de Dehornoy comme un théorème de cohérence pour les catégories munies d'un endofoncteur autodistributif à gauche.

Catégories karoubiennes et catégories esquissables (1991, 12 pages)

Quelques applications de l'algèbre des esquisses (1990, 9 pages)

Présentation de la théorie des esquisses (1989, 15 pages)

Structure des logiques et logique des structures. (Logiques, catégories, esquisses.)
Thèse de doctorat de mathématiques, soutenue le 28 janvier 1991 à l'Université Paris 7 (196 pages).
Rapporteurs : J. Lambek, M. Hyland. Jury : D. Duval, P. Dehornoy, Ch. Lair, P. Taylor, J.-Y. Girard.

Catégories, algèbres, esquisses et néo-esquisses.
Actes des journées de Caen du 27 au 30 septembre 1994.
Ce volume de 142 pages, réalisé sous ma direction, contient des contributions de Ch. Lair, Ch. Retoré, P. Dehornoy, P. Ageron, D. Duval et J.-Cl. Reynaud, P. Sénéchaud, M. Gerner et R. Guitart, A. Burroni et J. Penon, D. Bourn, R. Gordon et J. Power, M. Mathieu, P. Johnstone, T. Porter, R. Brown, W. Dreckmann, Y. Lafont, J. Van de Wiele, K. Lellahi, P. Damphousse et R. Guitart, J. Stell, R. Guitart, F. Wehrung.
Quelques exemplaires sont encore disponibles et seront expédiés gracieusement à toute personne qui en fera la demande.