Les rapports qu'entretiennent les mathématiques et l'architecture – et singulièrement la géométrie et la stéréotomie, c'est-à-dire "l'art du trait" avec la coupe des pierres et des bois –, sont sources de problèmes qui permettent de mettre en évidence des formes plus complexes que celles usuellement pratiquées à l'école élémentaire ou au collège. Le travail sur ces formes peut en outre déboucher sur des considérations d'histoire qui font d'elles des objets particulièrement adaptés dans le cadre de la polyvalence à l'école élémentaire ou de l'interdisciplinarité au collège ou au lycée.
Il s'agit ici de la voûte en berceau, de forme semi-cylindrique et engendrée par le déplacement d'un arc en plein cintre (semi-circulaire), perpendiculairement à son plan. Pour construire une telle voûte il faut concevoir des blocs pour les jambages et d'autres pour le berceau. Ces blocs de pierre ont la forme classique d'un parallélépipède rectangle dans le premier cas et d'un secteur de solide annulaire à section rectangulaire dans le second cas. Dans l'exemple proposé ici, on a choisi arbitrairement de juxtaposer 9 blocs de ce dernier type pour constituer le berceau, mais on peut parfaitement bien s'appuyer sur la connaissance préalable d'une situation concrète dans tel édifice du patrimoine local : la seule contrainte à adopter éventuellement est l'impair, qui s'explique, physiquement cette fois, par le principe de la clé de voûte.
On peut user de cette forme à des fins très diverses, comme par exemple et entre autres choses :
– on peut utiliser la forme théorique comme prétexte à un exercice de géométrie intégrant l'espace et certaines de ses représentations planes (perspective cavalière et patron) ; l'exercice suppose des connaissances élémentaires sur le cercle et ses arcs ; la forme choisie permet de comprendre, en matière de patron, qu'il peut y avoir des contraintes supplémentaires dès lors que l'on introduit du "courbe" : il est difficile de trouver un "côté" commun à des faces planes ou aplaties lorsque l'une au moins comporte des parties curvilignes ; l'exemple du cylindre ou du cône est à cet égard édifiant : c'est éventuellement un préalable à la fabrication du patron des blocs de la voûte en berceau ; il peut être concrétisé avec une boîte de conserve cylindrique, par exemple, et un ouvre-boîtes ; cet exemple montre qu'il y a impossibilité à concevoir un patron d'un seul tenant lorsqu'un contour curviligne fermé devient une autre ligne lors du développement d'une surface cylindrique ou conique qui s'appuie dessus : rectiligne, par exemple, lorsque la courbe est un cercle et la surface un cylindre droit, ou encore sinusoïdale dans le cas d'un cylindre d'axe non perpendiculaire au cercle de base (voir l'exemple des voûtes d'arête et d'arc de cloître) ;
– on peut construire un patron d'objets solides qui, une fois assemblés, produisent un arc entier, voire une voûte en berceau ; l'intention qui préside à ce travail est bien sûr que l'activité géométrique soit finalisée par une réalisation, qui peut être individuelle, mais que l'on peut proposer comme ouvrage collectif, ce qui suppose que le travail de chacun de ceux qui contribuent par une pierre à l'ensemble soit soigné, tant en matière de tracés qu'en matière de découpage et d'assemblage ; ici les patrons ont été proposés afin de permettre un travail de découpage et de simple découverte des volumes : il peuvent être utilisés d'entrée de jeu ou après un travail d'approche graphique ; le patron proposé sert alors d'objet fiable et commun à tous les participants, au moment de la réalisation ;
– un autre objectif peut être de comprendre le principe des culées ou contreforts dans l'art roman ; il faut alors concevoir deux solides supplémentaires, de forme trapézoïdale, que l'on accote aux jambages et qui évitent que ceux-ci ne s'écartent sous la poussée du berceau ; le travail géométrique s'inscrit alors dans une démarche relevant de l'histoire et de la physique. Mais alors des formes réalisées en carton ne suffisent plus, sauf à les remplir de sable et à les rendre hermétiques ; ce sont des volumes taillés qu'il faut envisager : un travail dans des classes de lycée technique ou professionnel constitue un prolongement naturel, que la question théorique soit traitée par les élèves de ces sections ou qu'une classe soit demandeuse des pièces du puzzle auprès de professeurs d'atelier d'un lycée ayant des sections "bois" ou "pierre", qui peuvent y trouver un exercice pratique intéressant : la qualité du cahier des charges est alors une exigence motivée.
Il est clair que l'idée est transposable dans le champ de l'art gothique, avec des voûtes en ogive et des arcs-boutants.
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