1. Objectifs
Le DEA Algorithmique, Arithmétique
et Algèbre est à la
fois un diplome terminal au niveau Bac+5 et une ouverture
aux études doctorales.
C'est une initiation aux activités de recherche basée
sur des thèmes liés à l'algèbre,
la théorie des
nombres et plus spécialement à
leurs aspects algorithmiques.
La formation doctorale est dispensée par l'équipe CNRS
``Structures Discrètes et Analyse Diophantienne'' (SDAD)
qui comprend des enseignants-chercheurs regroupés autour
de 5 thèmes : logique, algèbre,
théorie des nombres,
géométrie, analyse.
Le DEA vu comme un diplome terminal s'adresse en particulier
à des enseignants en mathématiques au
seuil de leur carrière (stagiaires d'Agrégation).
Il les met en contact avec des théories qui ne figurent
pas au programme de la Licence ou de la Maitrise
et leur donne un apercu de l'évolution actuelle de la
discipline qu'ils vont enseigner.
Mais la vocation principale du DEA est d'etre la première
année d'un cursus d'études doctorales.
Il est la voie d'accès à un travail de recherche
pouvant conduire
à la soutenance d'une thèse de
l'Université de Caen
(sous réserve d'acceptation d'encadrement
par l'un des membres de la formation doctorale).
L'étudiant devra acquérir les notions de base
utilisées dans un domaine de recherche mathématique,
apprendre à utiliser une bibliothèque,
à se documenter sur une
question, à lire des articles mathématiques,
à faire la synthèse de travaux épars,
à rédiger et à exposer des résultats
mathématiques.
2. Organisation
2.1 Conditions d'admission
L'admission est en principe réservée aux
étudiants
titulaires d'une maitrise de mathématiques.
Par dérogation elle peut etre accordée aux
titulaires d'une maitrise d'ingéniérie
mathématique
ou d'une maitrise d'informatique fournissant une
lettre de motivation argumentée.
Lea dossiers d'inscription sont disponibles auprès du
secrétariat du département de mathématiques.
Ils sont à renvoyer au responsable du DEA
avant le 15 septembre 2000 .
2.2 Organisation de l'enseignement
Le DEA comprend une partie théorique (cours)
et une partie pratique (stage).
Le diplome est délivré aux candidats qui obtiennent
une note supérieure à 10/20 dans chacune des deux
parties, et la note finale est la moyenne de ces deux notes.
Le stage est un travail individuel qui doit permettre
au candidat de découvrir l'activité de recherche.
Il est encadré par l'un des professeurs
intervenant dans le DEA et consiste
en général en l'analyse d'un ou plusieurs
articles de recherche récents.
Il donne lieu à la rédaction d'un mémoire et
à une soutenance de stage devant un groupe d'enseignants.
Les cours sont tous de 25 heures. Ils sont validés par des
examens de 4 heures, avec une session de rattrapage en septembre.
La partie théorique sera
acquise après réussite aux examens de
cinq cours choisis parmi les cours proposés (voir liste
ci-dessous).
La note de la partie théorique sera la moyenne
des cinq notes obtenues à ces examens.
Les équipes de la formation doctorale organisent un
un séminaire de structures
discrètes, un séminaire de théorie des nombres et
d'algèbre, un séminaire de géométrie
algébrique,
et un séminaire d'analyse.
La participation à l'un de ces séminaires est
vivement recommandée,
surtout aux candidats souhaitant s'inscrire ultérieurement
en thèse.
3. Liste des cours
Le DEA propose 3 cours de base et 5 cours spécialisés.
Les 3 cours de base sont dispensés au premier trimestre
et sont directement accessibles aux étudiants issus
d'une maitrise de mathématiques.
Les cours spécialisés sont des introductions à des
domaines de recherche actuels. Certains d'entre eux
s'appuient sur des notions introduites dans les cours
de base.
En outre, les étudiants peuvent choisir
un des cours de l'option Algorithmique
du DEA IAA (Intelligence Artificielle
et Algorithmique), qui appartient aussi à l'Ecole Doctorale
SIMEM.
3.1 Cours de base
P. Dehornoy :
Algorithmique et théorie combinatoire des groupes
- Notions de modèle de calcul et de problème
décidable et
semi-décidable; existence de problèmes
indécidables.
- Groupes libres, présentation d'un groupe, problème
de mot, formes normales.
- Graphe de Cayley d'un groupe, inégalités
isopérimétriques, groupes automatiques.
- Exemple des groupes de tresses et des groupes d'Artin.
Références :
P. Dehornoy, Complexité
et décidabilité, Springer 1993.
Epstein, Word processing in groups, Barlett and sons 1992.
E. Reyssat :
Arithmétique
- Théorie élémentaire : nombres premiers,
répartition, diviseurs,
factorisation.
- Corps finis. Réciprocité quadratique.
- Corps p-adiques.
- Nombres algébriques, nombres transcendants, exemples.
- Corps de nombres : groupes de classes, unités,
décomposition en
idéaux premiers.
Exemples de quelques familles de corps de nombres.
Références :
H. Cohen, A course in computational algebraic
number theory, Springer, 1993.
K. Ireland, M. Rosen, A classical introduction
to modern number theory, Springer 1990.
D.A. Marcus, Number fields, Springer 1987.
I.M. Niven, H.S. Zuckerman, H.L. Montgomery,
An introduction to the theory of numbers, Wiley, 1991.
P. Samuel, Théorie algébrique
des nombres, Hermann, 1967.
J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, P.U.F. 1970.
A.B. Shidlovskii, Transcendental numbers, De Gruyter, 1989.
J. Boxall :
Algèbre commutative et Géométrie algébrique
- Rappels sur les anneaux commutatifs.
- Extensions de corps.
- Algèbres de polynomes. Anneaux de Jacobson.
- Théorèmes de zéros, variétés
affines et projectives, polynome de Hilbert.
Références :
D. Lorenzini, An invitation to arithmetic geometry,
AMS 1996.
D. Eisenbud, Commutative algebra with a view
towards algebraic geometry, Springer, 1995.
H. Matsumura, Commutative ring theory, an introduction,
Cambridge University Press, 1986.
D. Perrin, Géométrie algébrique,
une introduction, Editions du CNRS, 1995.
3.2 Cours spécialisés
N. Creignou :
Complexité autour du problème SAT
- Satisfaisabilité des formules booléennes (SAT)
- Classes de complexité NP, ##P, et max SNP
- Exemples de problèmes conduisant à
des algorithmes en temps polynomial, et de problèmes
``difficiles" c'est-à-dire complets dans la classe en
considération.
Références :
M. Sipser, Introduction to the theory of computation,
PWS Publishing Company, 1997.
P. Matet :
Combinatoire
- Théorème de Ramsey fini et infini.
- Graphes et jeux.
- Théorème d'Ellentuck. Théorème de Van der Waerden.
Théorème de Haindman.
Références :
R.L. Graham, Rudiments of Ramsey theory,
AMS, 1981.
R.L. Graham, B.L. Rothschild, J.H. Spencer,
Ramsey theory, Wiley 1980.
J. Nesetrill, V. Roedl,
Mathematics of Ramsey theory, Springer 1990.
B. Leclerc :
Représentations linéaires
d'algèbres de Iwahori-Hecke
- Algèbre de Hecke d'un groupe G relativement
à un sous-groupe H.
Exemples en théorie des nombres.
- Groupes de Coxeter. Algèbre de Iwahori-Hecke
associée à un groupe de Coxeter.
- Représentations des algèbres de Iwahori-Hecke
de type A,
et application à l'invariant polynomial de Jones.
- Introduction à la théorie de Kazhdan-Lusztig.
Références :
J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups,
Cambridge University Press, 1992.
A. Mathas, Iwahori-Hecke algebras and Schur algebras
of the symmetric group, AMS University Lecture Series, 1999.
D. Essouabri :
Séries de Dirichlet généralisées
et applications en théorie des nombres
Ce cours est une initiation aux méthodes
géométrico-analytiques en théorie des nombres.
- Calcul différentiel et intégral sur les
variétés,
formules de représentation intégrale,
formules sommatoires,
résolution des singularités et prolongements
méromorphes
des intégrales fibres.
- Interprétation de certains problèmes
arithmétiques
en termes de séries de Dirichlet
généralisées, et
leur construction.
- Outils géométriques pour l'étude des
séries de Dirichlet généralisées.
Références :
G.M. Henkin, J. Leiterer, Theory of Functions
on Complex Manifolds, Akademie-Verlag, Berlin 1984.
M.L. Lapidus, M. van Frankenhuysen,
Fractal Geometry and Number Theory, Birkh\.auser Verlag, 1999.
D. Perrin, Géométrie algébrique,
Editions du CNRS, Paris, 1995.
E.C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta function,
Clarendon Press, Oxford, 1986.
F. Amoroso :
Point de petite hauteur dans une puissance du groupe multiplicatif
- Hauteur de Weil et ses propriétés.
- Version effective du théorème de finitude de Northcott
(théorème de comptage des points de hauteur bornée
dans un corps de nombres).
- Minoration de la hauteur de Weil pour des nombres
algébriques non
racine de l'unité (problème de Lehmer).
Théorème de Dobrowolski et certaines de ses
généralisations
récentes. Lemme de Siegel.
- Problèmes analogues en dimension supérieure.
Résultats connus et esquisse des démonstrations
en petite dimension.
Références :
M. Waldschmidt, Diophantine approximation
on linear algebraic groups, (Chapitre 3), Springer, 2000.
3.3 Cours de l'option Algorithmique du DEA IAA
C. Carlet :
Codes Correcteurs
M. Girault :
Cryptographie
E. Grandjean, J.-J. Hebrard :
Complexité et
algorithmes combinatoires
B. Vallée :
Analyse en moyenne, structures de données
et algorithmes
